二、按等效荷载方法推导σ_sk

与承载能力极限状态的验算公式一样，裂缝宽度公式中仍避免不了次弯矩M₂的计算，因而可以寻求相对简便的裂缝宽度验算方法。由文献《预应力混凝土极限抗弯承载力计算的等效荷载法》可知，对于预应力混凝土构件的承载能力极限状态验算，可以利用两阶段的等效荷载法，即取设计荷载与等效荷载作用下的内力相组合作为内力设计值，预应力筋在极限状态的贡献则仅取（f_py-σ_pe）A_p，而规范方法由于通过次内力来考虑预应力效应对设计内力影响取了预应力筋在极限状态的贡献f_pyA_p，两种方法公式可以相互推导。两阶段的等效荷载法避免了次弯矩的计算，因而相对简洁明了。规范公式时而将力筋作为能动作用者，时而又将力筋作为与普通钢筋一样的材料来对待，未能很好地从概念上反映预应力的本质。至今人们对通过次内力来考虑预应力效应对设计内力影响的设计计算方法仍不赞赏。

采用上述两阶段工作原理的等效荷载法可得到一个相对准确又能比规范方法简便的裂缝宽度估算方法。规范求解裂缝公式是在全截面消压基础上建立起来的，而两阶段的等效荷载法则是以σ_pe作为分界点，存在一定的近似性。注意到裂缝宽度公式只是用来估算裂缝宽度的最大值，并不就是绝对最大值，而是具有95%保证率的相对最大裂缝宽度，则可近似取σ_pe=σ_po，即有N_pe=N_po，并取N_r=N_pe=N_po，如图3所示。

图 3 预应力混凝土拉弯构件裂缝宽度的两阶段计算方法

整理得：

   （11）

式中：N_pe为预应力钢筋及非预应力钢筋的有效预加力；M_r为由预加力N_pe的等效荷载在结构构件截面上产生的综合弯矩值；N_r为由预加力N_pe的等效荷载在结构构件截面上产生的综合轴力值，一般近似有N_r=N_pe。

如图4，对受压区合力点取距，则有：

M_k+N_k(h/2-(h-a-z))

=N_r(h/2-(h-a-z))+M_r+σ_piA_pz   (12)

（13）

图4 预应力混凝土拉弯构件裂缝宽度的两阶段计算方法应力图形

同样，当受拉区和受压区还配置有非预应力钢筋A_s和A_s´时，只需将上述公式中的A_p用（A_p+A_s）代替，在计算z时，按全部受拉钢筋截面重心考虑，计算N_pe时，应考虑非预应力钢筋A_s和A_s´的影响。则有:

 （14）

三、两种方法的统一

已知关系式:

M_r=M₁±M₂=N_pee_po±M₂        （15）

将式（15）与式（16）代入前面式（11）与式（14）有：

（17）

（18）

可见由两阶段的等效荷载法的公式（11）与式（14）可分别推得公式（17）和 公式（18），与GB 50010—2002规范方法的公式（3）和公式（8）相比，差别仅在于近似取了σ_pe=σ_po或N_pe= N_po，而一般N_pe与N_po两个值的差别并不大，总有N_pe≤N_po，可以近似相等，加之压力的存在总是能抑制或延缓裂缝的开展，所以两阶段方法以N_pe代替N_po，是偏于保守的，裂缝宽度值要比规范公式的计算值略大，相当于提高了抗裂度的等级，并且采用两阶段方法的式（11）与式（14）可不计算次弯矩M₂，直接利用综合弯矩M_r，这样比起规范方法推得的式（3）和式（8）偏于保守又相对简单。

四、结语

本文采用现行混凝土规范方法和预应力筋对结构的两阶段工作原理分别推导了预应力混凝土偏心受拉构件的裂缝宽度计算公式中的σ_sk，将其代入规范的裂缝宽度计算公式即可进行该类构件的裂缝宽度验算。稍加近似，两种方法推导出的裂缝宽度计算公式可以实现统一，并且后一方法简化了裂缝宽度验算的步骤。值得指出的是，后一方法中若在公式（14）中减去由于N_pe和N_po的差异而导致的应力增量之差，则可实现两种方法公式的完全一致，然而会使得过程较为繁冗。本文针对矩形截面预应力偏心受拉构件裂缝控制公式的推导，经过适当修改，也可用于其他截面形式和受力形式的情况。