一、总论

　　有限元法可以理解为是结构分析的一个通用方法。采用它就可以把一个连续介质力学问题近似地看作为一个由适当选取的有限个单元在有限个节点(结点)连起来的集合体来加以分析。

　　为了进行结构分析，一个结构可以理想化为由离散单元连接起来的结点系统(图1.3及1.4)。分析的目标是：已知结点荷载、结构的几何特性(结点的位置)以及结构单元的刚度特性，要求求出结点位移及结构单元的内部应力。

图1.3 由一维单元组成的结构

(a)二维桁架 (b)二维刚架 (c)三维桁架 (d)三维刚架

　　用直接刚度法对一维单元组成的结构作线性分析(编者注：就是梁柱杆件系统的结构力学方法)，在许多近代结构分析教科书中已有详细介绍，在此不再赘述。理想化为二维有限单元的连续体结构也可用同样的方法进行线性分析(图1.4)，只要对它的各个单元导出其合适的刚度矩阵。二维有限元可以是三角形的、矩形的或一般四边形的。单元不是简单地将原结构分割成许多小块块，然后再在结点处加以连接就行，因为这样做将使结构的柔性大大增加，而且在结点处会产生很高的应力集中。有限单元是一种受到制约的特定形式的单元，以便使变形能按特定的模式进行，从而当结点实现平衡和连续时，在板状单元之间，沿相邻单元的交接面上，其连续性也完全得到满足。

图1.4 由二维单元组成的结构

(a)二维坝体切面 (b)二维剪力墙

(c)三维楼板 (d)三维壳体

　　二、单元刚度的推导

　　对于任一匀质连续体(如图1.4所示)，每一单个的有限元，其单元刚度矩阵可以用能量原理，例如虚功原理来确定。不管单元采用什么样的类型和形状，下列一些基本步骤是少不了的。

　　1、用假定的位移函数φ,把单元内任一点处的内部位移{v}用结点位移{r}来表示。位移函数是用来近似表示连续体内单元的真实位移性能的。

　　{v}=[φ]{r} (1.1)

　　2、对式(1.1)作适当推导，建立起应变-位移关系。

　　{ε}=[B]{r} (1.2)

　　3、选择适当的单元应力应变关系。

　　{σ}={D}{ε} (1.3)

　　4、将式(1.2)代入式(1.3)，得到应力-位移关系

　　{σ}={D}[B]{r} (1.4)

　　5、对任一结点施加虚位移{ū},并使外部虚功We等于内部虚功Wi。

　　6、外部虚功

　　We={ū}T{S} (1.5)

　　式中{S}是广义结点力。

　　7、内部虚功

　　Wi=∫{εs}T{σ}dv (1.6)

　　由式(1.2)

　　{εs}T={ū}T[B]T (1.7)

　　代入式(1.6)，得

　　Wi=∫{εs}T{σ}dv={ū}T∫[B]T{σ}dv (1.8)

　　然后将式(1.4)代入式(1.8)，

　　Wi={ū}T(∫[B]T{D}[B]dv){r} (1.9)

　　8、根据We= Wi，由式(1.5)及(1.9)

　　{ū}T{S}={ū}T∫[B]T{D}[B]dv{r} (1.10)

　　因为这一关系式必须对任一种虚位移{ū}都有效，可在式(1.10)的两边消去{ū}T，得

　　{S}=(∫[B]TTD}[B]dv){r} (1.11)

　　或 {S}=[k] {r} (1.12)

　　式中 [k]= ∫[B]T{D}[B]dv (1.13)

　　即为所求的单元刚度矩阵。

　　一般来说，除特殊情况外，式(1.13)的积分要由计算机用数值计算得出。

　　当单元刚度矩阵经计算求得，并由局部坐标转换成整体坐标后，将单元刚度系统相加就可形成结构的刚度矩阵[K]。

　　[K]{r}={R} (1.14)

　　列向量{R}是已知的结点外荷载。解式(1.14)，就可求得未知的结点位移。

　　结点位移已知后，就可由式(1.4)求出每一单元内的应力。

　　{σ}={D}[B]{r} (1.4)